Nombres entiers et décimaux

Leçon nombres entiers et décimaux (version complétée)   

1. Les nombres entiers naturels

Définition : les nombres entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 98, 99, 100, …, 112,113,…

Division euclidienne de deux entiers naturels : 

               a = b x q + r

               0 ≤ r < b

Propriété

Lorsque le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b (non nul) est égal à 0 (r = 0), on peut écrire : a = b × q. 

On dit alors que : 

• b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b) 

• a est un multiple de b

Exemple : 

12 = 4×3. Le reste de la division euclidienne de 12 par 3 est nul. On dit que 12 est un multiple de 3, ou encore que 3 est un diviseur de 12.

Remarque : Tout nombre entier naturel est divisible par 1 et lui-même 

Exercices corrigés nombres entiers et décimaux

1. Effectue la division euclidienne de 138 par 5 

138 = 5 x 27 + 3

2. Dans la division euclidienne de 132 par 9, le reste vaut 6. Quel est le quotient ?

132 = 9 x ? + 6 ; 132 – 6 = 9 x ? ; 126 = 9 x ? ; 126 : 9 = 14

                                     Le quotient vaut 14.

3. Quel est le plus grand diviseur commun à 36 et 54

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 18 

54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 3 x 18

18 est le PGCD de 36 et 54 

Leçon   

Définition : 

Un nombre entier naturel est un nombre premier à condition qu’il possède exactement 2 diviseurs

Remarque : ces deux diviseurs sont 1 et le nombre premier lui-même 

Exemple : 

• 13 est un nombre premier car il n’est divisible que par 1 et lui-même. 

•  9 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 3

• 1 n’est pas premier car il a un seul diviseur. 

• 0 n’est pas premier car il est divisible par 2, et d’ailleurs par tous les entiers non nuls

Propriété

Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Exercices corrigés

1. Soulignez les nombres premiers : 

1      11       23       39       47       51        69        73       456

2. Dire si les affirmations suivantes sont VRAIES ou FAUSSES : 

(a) Aucun nombre premier n’est pair : Faux car 2 est pair et premier 

(b) Si on multiplie deux nombres premiers, le résultat est premier : Faux car 6 = 2 x 3 avec 2 et 3 premiers mais 6 non premier car divisible par 2.

(c) Parmi les diviseurs de 45, il y a exactement deux nombres premiers : 

45 = 3 x 3 x 5      3 et 5 sont les seuls diviseurs premiers de 45 donc c’est vrai. 

Leçon   

LE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ARITHMÉTIQUE 

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2, non premier, peut s’écrire comme le produit de nombres premiers. 

Remarque : Cette écriture s’appelle la décomposition en facteurs premiers 

Exemple : 

24 = 2×2×2×3 

450 = 2×3×3×5×5 

2022 = 2×3×337 

Comment déterminer la décomposition en facteurs premiers d’un entier ?

Exercice corrigé

Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 56

Leçon   

II – Les différentes écritures des nombres décimaux et leur représentation géométrique 

DÉFINITION 

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ou 100 ou 1000, etc.. 

DÉFINITION 

Un nombre est dit décimal à condition qu’il puisse s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. 

PROPRIÉTÉ 

Un nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes.

Exemples : 

PROPRIÉTÉ 

Un nombre décimal est la somme d’un nombre entier, appelé partie entière et d’un nombre inférieur à 1, appelé partie décimale.

Exemple : 

13,456 = 13 + 0,456 = 

DÉFINITION 

Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur. Cette unité de longueur est reportée régulièrement à partir de l’origine de la demi-droite. Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un seul nombre (décimal ou non) appelé abscisse du point. 

Inversement, à chaque nombre décimal correspond un seul point qui est la représentation géométrique du nombre décimal.

Exemples : 

1. Le point O a pour abscisse : 0

2. Le point A a pour abscisse : 1

3. Le point E a pour abscisse : 1 + ¾ = 7/4 = 1,75

4. Placer le point D d’abscisse 1,5

5. Place le point B d’abscisse 0,25

6. Placer le point C d’abscisse 0,75

Exercices corrigés nombres entiers et décimaux

1. Pour chacun des deux nombres suivants, donner la décomposition décimale selon le rang et la décomposition en fractions selon le rang. 

13,51 = 13 + 5 x 0,1 + 1 x 0, 01 = 13 + 5 x 1/10 + 1 x 1/100

432,32 = 432 + 3 x 0,1 + 2 x 0,01 = 432 + 3 x 1/10 + 2 x 1/100

2. Ecrire le nombre décimal correspondant à la décomposition ci-dessous : 

435 + 6 x 0, 1 + 2 x 0, 01 = 435,62

3. Écrire en écriture fractionnaire et décimale les nombres suivants : 

Nombre : Trente-sept centièmes 

Écriture fractionnaire : 37/100

Écriture décimale : 0,37

Nombre : six cent quarante-deux millièmes 

Écriture fractionnaire : 642/1000

Écriture décimale : 0,642

Nombre : cinq cent trente-huit dixièmes

Écriture fractionnaire : 538/10 

Écriture décimale : 53,8

4. Parmi les 4 nombres suivants, entourez celui qui est égal à 43 + 91/100.

43,091             43,91             4,391            439,1 

5. Comparer les nombres suivants, en complétant les pointillés par <, =, ou > : 

84 ……37                     4,210 …. 4,21                    0,506 …. 0,65                        

0,013 …..0,12             3574 ….. 3576                   5,11 …. 5,021 

6. On donne le nombre a = 132,478. Pour chaque question, donner l’écriture décimale du nombre obtenu après l’opération demandée : 

1. On ajoute trois dixièmes au nombre a : 132,778

2. On soustrait deux dizaines au nombre a : 112,478

3. On ajoute trois millièmes au nombre a : 132,481

Leçon   

III – Calculs sur des expressions numériques 

Nommer une expression numérique : rappel de vocabulaire 

CALCUL D’UNE EXPRESSION NUMÉRIQUE SANS PARENTHÈSES 

• a = 6 + 12 + 73 + 5 = 96

Dans une expression comportant seulement des additions, ou seulement des multiplications, on effectue les calculs dans n’importe quel ordre. 

• b = 13 − 3 − 9 + 17 = 10 – 9 + 7 = 1 + 7 = 8

Dans une expression ne comportant que des additions et/ou des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite. 

• c = 30 ÷ 2 × 8 ÷ 6 × 2 = 15 x 8 : 6 x 2 = 120 : 6 x 2 = 20 x 2 = 40 

Dans une expression ne comportant que des multiplications et/ou des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite. 

• Dans une expression comportant les 4 opérations, on effectue d’abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.

Exercices corrigés nombres entiers et décimaux

Calculer les expressions suivantes, en soulignant à chaque étape l’opération prioritaire

A = 6 x 3 + 5

A = 18 + 5

A = 23

B = 9 : 3 + 8

B = 3 + 8

B = 11

C = 14 + 3 x 7

C = 14 + 21

C = 35

Leçon   

CALCUL D’UNE EXPRESSION NUMÉRIQUE AVEC PARENTHÈSES 

Pour calculer une expression numérique avec parenthèses, on effectue d’abord les opérations entre parenthèses et s’il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus « intérieures ». À l’intérieur d’une parenthèse, la priorité des opérations sur les expressions sans parenthèses restent valables. 

Exemple 

a = 3 × (1 + 6) − 8 = 3 x 7 – 8 = 21 – 8 = 13

CALCUL D’UN QUOTIENT ÉCRIT EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 

Pour calculer un quotient écrit en écriture fractionnaire, on calcule d’abord séparément le numérateur et le dénominateur, puis on calcule le quotient, s’il est décimal. 

Exemple :

b = 

Exercice corrigé

Calculer les expressions suivantes en soulignant à chaque étape du calcul l’opération prioritaire. 

A = 12 – (6 + 5)

A = 12 – 11

A = 1

B = (10 – 4) – (2 + 3)

B = 6 – 5

B = 1

C = 24 – (12 + 8 + 3)

C = 24 – 23

C = 1

D = 6 x 4 – (7 – 5)

D = 24 – 2

D = 22